Question

11．观察以下一系列等式：①2¹-2⁰=2-1=2⁰；②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；④_____：…
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：2⁴-2³=16-8=2³；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：2ⁿ-2^（n-1）═2^（n-1），并说明这个规律的正确性；
（3）请利用上述规律计算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰．

Answer 1

分析 （1）根据已知规律写出④即可．
（2）根据已知规律写出n个等式，利用提公因式法即可证明规律的正确性．
（3）写出前101个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案．

解答 解：（1）根据已知等式：
①2¹-2⁰=2-1=2⁰；
②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；
得出以下：
④2⁴-2³=16-8=2³，
故答案为：2⁴-2³=16-8=2³．

（2）①2¹-2⁰=2-1=2⁰；
②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；
④2⁴-2³=16-8=2³；
得出第n个等式：
2ⁿ-2^（n-1）=2^（n-1）；
证明：
2ⁿ-2^（n-1），
=2^（n-1）×（2-1），
=2^（n-1）；
故答案为：2ⁿ-2^（n-1）=2^（n-1）；

（3）根据规律：
2¹-2⁰=2-1=2⁰；
2²-2¹=4-2=2¹；
2³-2²=8-4=2²；
2⁴-2³=16-8=2³；
…
2¹⁰¹-2¹⁰⁰=2¹⁰⁰；
将这些等式相加得：
2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰，
=2¹⁰¹-2⁰，
=2¹⁰¹-1．
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1．

点评 题目考查了数字的规律变化，解决此类问题的关键是找到序号和变化数字的关系，另外题目涉及证明和运算，对学生的考察能力有了更高的要求，题目整体艰难，适合课后培优训练．