Question

16．探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
（1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：∠A=∠D=∠BCE=90°，求证：△ABC∽△DCE；
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面问题：
如图②，已知点A（-2，1），点B在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等和相似三角形的判定定理证明即可；
（2）作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，根据坐标特征求出OM=2，AM=1，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点B的坐标，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．

解答 （1）证明：∵∠D=90°，
∴∠DCE+∠E=90°，
∵∠BCE=90°，
∴∠DCE+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E，又∠A=∠D=90°，
∴△ABC∽△DCE；
（2）解：如图②，作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，
∵点A（-2，1），
∴OM=2，AM=1，
设点B的坐标为（x，-2x+3），
由（1）得，△AOM∽△OBN，
∴$\frac{AM}{ON}$=$\frac{OM}{BN}$，即$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{-2x+3}$，
解得，x=$\frac{3}{4}$，
则-2x+3=$\frac{3}{2}$，
则点B的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．