Question

13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（-1，0），在y轴上有一动点G，则BG+$\frac{1}{3}$AG的最小值为$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 在x轴上取一点E（$\sqrt{2}$，0），则AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．作GF⊥AE于F，GH⊥AE于H，交OA于G′，由△AFG∽△AOB，可得$\frac{GF}{OE}$=$\frac{AG}{AE}$，推出GF=$\frac{1}{3}$AG，推出BG+$\frac{1}{3}$AG=BG+FG，
根据垂线段最短可知，当G与G′重合时，BG+$\frac{1}{3}$AG的值最小，最小值为BH，求出BH即可解决问题．

解答 解：在x轴上取一点E（$\sqrt{2}$，0），则AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
作GF⊥AE于F，GH⊥AE于H，交OA于G′
∵∠GAF=∠OAE，∠AFG=∠AOE，
∴△AFG∽△AOB，
∴$\frac{GF}{OE}$=$\frac{AG}{AE}$，
∴$\frac{GF}{\sqrt{2}}$=$\frac{AG}{3\sqrt{2}}$，
∴GF=$\frac{1}{3}$AG，
∴BG+$\frac{1}{3}$AG=BG+FG，
根据垂线段最短可知，当G与G′重合时，BG+$\frac{1}{3}$AG的值最小，最小值为BH，
∵∠BEH=∠AEO，∠BHE=∠AOE，
∴△BHE∽△AOE，
∴$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴$\frac{BH}{4}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
∴BH=$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$，
∴BG+$\frac{1}{3}$AG的最小值为$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为$\frac{4+2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查垂线段最短、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，关注相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．