Question

1．如图，抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c经过A（3，0）、C（-1，0）两点，与y轴交于B点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为第一象限抛物线上的一点，连接CD交AB于E，当CE=2ED时，求点D的坐标；
（3）点P以每秒3个单位长度的速度从点O出发，沿O→B→A匀速运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→A匀速运动，运动时间为t秒，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，是否存在t，使以A、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）作DF∥AC交AB于F，可证得△ACE∽△FDE，根据相似三角形的性质可求得FD，设出设D（a，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），则F（a-2，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），然后求得直线AB的解析式，将点B的坐标代入直线AB的解析式可求得a的值；
（3）先依据题意分析可出可能出现的情况，然后画出相应的图形，最后利用相似三角形的性质求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c经过A（3，0）、C（-1，0）两点，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}×{3}^{2}+3b+c=0}\\{-\frac{3}{4}-b+c=0}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{8}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；
（2）如图1所示：作DF∥AC交AB于F．

设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{4}{3}$，b=4．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4．
∵FD∥AC，
∴△ACE∽△FDE，
∴$\frac{FD}{AC}$=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{DE}{2DE}$=$\frac{1}{2}$，
∵AC=4
∴FD=2．
设D（a，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），则F（a-2，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），
将点F的坐标代入直线AB的解析式得：-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4=-$\frac{4}{3}$（a-2）+4，解得a=1或a=2．
当a=1时，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4=$\frac{16}{3}$，即点D（1，$\frac{16}{3}$）．
当a=2时，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4=4，即点D（2，4）．
综上所述点D的坐标为（1，$\frac{16}{3}$）或（2，4）．
（3）存在．
如图2所示：当∠APA=90°时．

∵∠QPO+∠OPA=90°，∠QPO+∠PQO=90°，
∴∠OPA=∠PQO．
又∵∠POQ=∠POA=90°，
∴△PQO∽△APO．
∴$\frac{PO}{OQ}$=$\frac{OA}{OP}$，即$\frac{3t}{1-2t}$=$\frac{3}{3t}$，解得t=$\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$或t=$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$（舍去）．
如图3所示：当点Q与点O重合时，△PQP为直角三角形．

∵OC=1，
∴t=1．
如图4所示：当∠PQA=90°时．

由题意可知QA=4-t，AP=9-3t．
∵cos∠BAO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{4-t}{9-3t}$=$\frac{3}{5}$，解得：t=$\frac{7}{4}$．
如图5所示：当∠QPA=90°时．

由题意可知QA=4-t，AP=9-3t．
∵cos∠BAO=$\frac{AP}{QA}$=$\frac{OA}{AB}$═$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{9-3t}{4-t}$=$\frac{3}{5}$，解得：t=$\frac{11}{4}$．
综上所述，当t的值为$\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$或1或$\frac{7}{4}$或=$\frac{11}{4}$时，△PAQ为直角三角形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质表示出点F的坐标是解答问题（2）的关键，根据题意画出符合题意的所有图形是解答问题（3）的关键．