Question

5．已知点O是坐标系的原点，直线y=-x+4与双曲线y=$\frac{mn}{x}$（mn＞0）交于两个不同的点A（m，n）（$\frac{5}{2}$＜n＜4）和B（p，q），AC⊥x轴交于点C，求△ABC的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 联立直线与双曲线的解析式后，化简可得x²-4x+mn=0，由题意可知n=p，m+n4，过点B作BD⊥x轴于点D，从而求出梯形ABDC的面积以及三角形BCD的面积表达式，即可求出S的表达式．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{mn}{4}}\end{array}\right.$，
化简可得到：x²-4x+mn=0，
由题意可知该方程有两个解，x=m或x=p，
由根与系数的关系可知：mp=mn，
即p=n，
∴B的坐标为（n，m）
∵点A（m，n）在直线y=-x+4，
∴m+n=4，
∵$\frac{5}{2}$＜n＜4，
∴0＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴A（4-n，n），B（n，4-n），
过点B作BD⊥x轴于点D，
∴CD=n-（4-n）=2n-4，BD=4-n，AC=n，
∴梯形ABDC的面积为：$\frac{（AC+BD）•CD}{2}$=4n-8，
△BCD的面积为：$\frac{1}{2}$CD•BD=-n²+6n-8，
∴△ACB的面积为：S=（4n-8）-（-n²+6n-8）=n²-2n，
对称轴为：n=1，
∴当n=4时，S=4²-2×4=8，
当n=$\frac{5}{2}$时，S=（$\frac{5}{2}$）²-2×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$
∴S的取值范围：$\frac{5}{4}$＜S＜8，

点评 本题考查反比例函数的综合问题，解题的关键是求出n=p，从而将A、B的坐标用n表示，本题属于中等题型．