题目内容
15．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFFH与ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}$=$\frac{DH}{DE}$，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC∴DH2=AD•DC．即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）类比思考
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形各称），再转化为等积的正方形．
如图②，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与△ABC等积的正方形的一条边．
（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为n-1边形，…，直至转化为等积三角形，从而可以化方．
如图③，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）．
分析 （1）通过直角△ADH和直角△HDE中，∠AHD=∠HED证明△ADH∽△HDE，得DH2=AD×DE，再根据等量代换得出正方形DFGH与矩形ABCD等积；
（3）作法：①作BC的中垂线，D为BC的中点，作?ABDE；②过B作BF⊥AE，垂足为F，作矩形BDHF；③在直线AE在取BF=FM，以HM为直径，以点F为圆心作半圆，与直线BF交于点G；④则线段FG就是所求的正方形的一边；
（4）作法：①连接BD，②过A作l∥BD，③延长CD交l于E，④连接BE，则S△BEC=S四边形ABCD．
解答 
解：（1）答案为：△HDE，AD•DC；
（3）如图2，答案为：矩形；
（4）如图3，则△BEC的面积=四边形ABCD的面积；
点评 本题是四边形综合题，考查了尺规作图，考查了特殊平行四边形的性质及面积，同时还考查了学生的阅读理解能力，利用三角形的面积和四边形的面积解决问题，注意三角形中：①等底等高的两三角形的面积相等，②同底等高的两三角形的面积相等，③等底同高的两三角形的面积相等；矩形面积=长×宽，平行四边形面积=底×高．
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