Question

7．如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点O是边AC上一动点，⊙O切AB于点D．
（1）当⊙O与BC相切时，求⊙O的半径；
（2）当点C落在⊙O上时，求⊙O的半径；
（3）如图2，在AB边上取点E，使得BE=AD，以EB为边向下作矩形EGHB，EB：BH=1：$\sqrt{3}$，作直线EH
①当O，E，H三点共线时，求⊙O的半径；
②直线EH与⊙O相切时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当⊙O与BC相切时，设点E为切点，连接OD、OE，只要证明四边形ODBE是正方形即可解决问题．
（2）如图2中，当⊙O经过点C时，设半径为r，由OA+OC=AC列出方程即可解决问题．
（3）①如图3中，连接OD，设半径为r，由AD+DE+EB=2，列出方程即可解决．
②如图4中，当EH与⊙O相切于点M，连接OD，OM，OE．设半径为r，由AD+DE+EB=2，列出方程即可解决．如图5中，设⊙O的半径为r，EH与⊙O相切于点M，连接OM，OD，OE，由AE+ED+EB=2，列出方程即可解决．

解答 解：（1）如图1中，当⊙O与BC相切时，设点E为切点，连接OD、OE．

∵∠ODB=∠OEB=∠B=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODBE是正方形，
∴DB=OE=OD，
∵BA=BC=2，
∴∠A=∠AOD=45°，
∴AD=OD，
∴AD=DB=1，
∴OD=1，

（2）如图2中，当⊙O经过点C时，设半径为r，由OA+OC=AC，可得$\sqrt{2}$r+r=2$\sqrt{2}$，
∴r=4-2$\sqrt{2}$．


（3）①如图3中，连接OD．

∵EB：BH=1：$\sqrt{3}$，
∴∠BEH=∠ODE=60°，设半径为r，
∵AD+DE+EB=2，
∴r+$\frac{\sqrt{3}}{3}$r+r=2，
∴r=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

②如图4中，当EH与⊙O相切于点M，连接OD，OM，OE．设半径为r．

∵OD=OM，OD⊥EA，OM⊥ME，
∴∠OED=∠OEM=30°，
∵AD+DE+EB=2，
∴r+$\sqrt{3}$r+r=2，
∴r=4-2$\sqrt{3}$．
如图5中，设⊙O的半径为r，EH与⊙O相切于点M，连接OM，OD，OE．

∵OM=OD，OM⊥EM，OD⊥DE，
∴∠OEM=∠OED=60°，
∵AE+ED+EB=2，
∴2r-$\frac{\sqrt{3}}{3}$r=2，
∴r=$\frac{12+2\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查圆的综合题、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．