Question

2．阅读材料：
①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）；
②两条平行线l₁，l₂，直线l₁上任意一点到直线l₂的距离，叫做这两条平行线l₁，l₂之间的距离，记作d（l₁，l₂）；
③若直线l₁，l₂相交，则定义d（l₁，l₂）=0；
④若直线l₁，l₂重合，我们定义d（l₁，l₂）=0，
对于两点P₁，P₂和两条直线l₁，l₂，定义两点P₁，P₂的“l₁，l₂相关距离”如下：
d（P₁，P₂|l₁，l₂）=d（P₁，l₁）+d（l₁，l₂）+d（P₂，l₂）
设P₁（4，0），P₂（0，3），l₁：y=x，${l_2}：y=\sqrt{3}x$，l₃：y=kx，解决以下问题：
（1）d（P₁，P₂|l₁，l₂）=2$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$；
（2）①若k＞0，则当d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大时，k=$\frac{4}{3}$；
②若k＜0，试确定k的值，使得d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先分别求出d（P₁，l₁）、d（l₁，l₂）、d（P₂，l₂）的值各是多少，再把它们求和，求出d（P₁，P₂|l₁，l₂）的值是多少即可．
（2）①首先作P₁A⊥l₃于点A，P₂B⊥l₃于点B，连接P₁P₂交l₃于点C，然后根据P₁A+P₂B≤P₁P₂，可得当P₁P₂⊥l₃时，P₁A+P₂B的值最大，据此求出k的值是多少即可．
②首先作P₁A⊥l₃于点A，P₂B⊥l₃于点B，P₁、P₃关于原点对称，P₃C⊥l₃于点C，P₂P₃交l₃于点D，然后根据P₂B+P₃C≤P₂P₃，可得当P₂P₃⊥l₃时，P₂B+P₃C取到最大值，据此求出k的值是多少即可．

解答 解：（1）∵P₁（4，0），P₂（0，3），l₁：y=x，l₂：y=$\sqrt{3}$x，
如图，过点A作AB⊥l₂，
∵y=$\sqrt{3}$x，
∴∠BOC=30°，
∴∠OBC=60°，
设CD=x，则OD=$\sqrt{3}$x，BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵OB=3，
∴x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴BC=2BD=$\frac{3}{2}$，
∴d（P₁，P₂|l₁，l₂）=d（P₁，l₁）+d（l₁，l₂）+d（P₂，l₂）
=$\frac{4}{\sqrt{2}}$+0+$\frac{3}{2}$
=2$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}$；

（2）①如图1，作P₁A⊥l₃于点A，P₂B⊥l₃于点B，连接P₁P₂交l₃于点C，
d（P₁，P₂|l₃，l₃）=d（P₁，l₃）+d（l₃，l₃）+d（P₂，l₃）=P₁A+P₂B，
∵P₁A≤P₁C，P₂B≤P₂C，
∴P₁A+P₂B≤P₁P₂，
∴当P₁P₂⊥l₃时，
P₁A+P₂B的最大值是：$\sqrt{O{P}_{1}^{2}+O{P}_{2}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
此时k=tan∠OP₂P₁=$\frac{O{P}_{1}}{O{P}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴若k＞0，当d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大时，k=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$；

②如图2，作P₁A⊥l₃于点A，P₂B⊥l₃于点B，P₁、P₃关于原点对称，P₃C⊥l₃于点C，P₂P₃交l₃于点D，
∵P₁、P₃关于原点对称，
∴P₁A=P₃C，
∴d（P₁，P₂|l₃，l₃）=d（P₁，l₃）+d（l₃，l₃）+d（P₂，l₃）=P₁A+P₂B=P₂B+P₃C，
∵P₂B≤P₂D，P₃C≤P₃D，
∴P₂B+P₃C≤P₂P₃，
∴当P₂P₃⊥l₃时，
P₂B+P₃C的最大值是：$\sqrt{O{P}_{3}^{2}+O{P}_{2}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
此时k=-tan∠OP₂P₃=-$\frac{O{P}_{3}}{O{P}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$，
∴若k＜0，当d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大时，k=-$\frac{4}{3}$．

点评 此题属于一次函数的综合题．考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．解答此题的关键是理解d（P₁，P₂|l₁，l₂）=d（P₁，l₁）+d（l₁，l₂）+d（P₂，l₂）的意义和求法．