Question

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒ycm的速度运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当y=2时，t为何值时，四边形PQDC是平行四边形？
（2）当四边形PQDC为菱形时，求y，t的值；
（3）当t=2时，是否存在点P，使△PQD为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的y的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，因为Q、P点的速度已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用y表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得y

解答 解：（1）当y=2时，
∵四边形PQDC是平行四边形
∴DQ=CP
当P从B运动到C时，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得t=5
当P从C运动到B时，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=$\frac{37}{3}$，
∴当t=5或$\frac{37}{3}$秒时，四边形PQDC是平行四边形
（2）如图1，

过点D作DG⊥BC，
在Rt△DGC中，CG=21-15=5，DG=AB=12，
根据勾股定理得，CD=13
由运动得，AQ=t，BP=ty，
∴QD=16-t，PC=21-ty，
∵四边形PQDC为菱形，而DQ∥PC
∴QD=PC=CD，
∴16-t=21-ty=13，
∴t=3，y=$\frac{8}{3}$；
（3）当t=2时，
∴AQ=2，BP=2y，
∴QD=AD-AQ=16-2=14，PC=21-2y
当PQ=PD时，
如图2，

作PH⊥AD于H，则HQ=HD
∵QH=HD=$\frac{1}{2}$QD=7，
∵AH=BP，
∴AQ+QH=BP，
∴2+7=2y，
∴y=$\frac{9}{2}$
当PQ=QD时QH=AH-AQ=BP-AQ=2y-2，QD=14，
∵PQ²=QH²+PH²=（2y-2）²+12²，
∴196=（2y-2）²+12²，
∴y=1+$\sqrt{13}$或y=1-$\sqrt{13}$（舍）
解得y=1+$\sqrt{13}$；
当QD=PD时DH=AD-AH=AD-BP=16-2y，
∵QD²=PD²=PH²+HD²=12²+（16-2y）
∴196=12²+（16-2y）²
∴y=8-$\sqrt{13}$或y=8+$\sqrt{13}$（舍）
综上可知，当y=$\frac{9}{2}$或y=1+$\sqrt{13}$或y=8-$\sqrt{13}$时，△PQD是等腰三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．