Question

5．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标；
（3）在（2）的前提下，能否在y轴上找一点P，使|PC-PE|最小？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可；
（2）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案；
（3）设P（0，y），再由PC=PE时最小求出y的值即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．
∴$\left\{\begin{array}{l}-1=-4-2b+c\\ c=7\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=7\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+7，
=-（x²-2x）+7，
=-[（x²-2x+1）-1]+7，
=-（x-1）²+8，
∴对称轴为直线x=1；

（2）∵当矩形CDEF为正方形时，假设C点坐标为（x，-x²+2x+7），
∴D点坐标为（-x²+2x+7+x，-x²+2x+7），即（-x²+3x+7，-x²+2x+7），
∵对称轴为：直线x=1，D到对称轴距离等于C到对称轴距离相等，
∴-x²+3x+7-1=-x+1，
解得：x₁=-1，x₂=5（不合题意舍去），
x=-1时，-x²+2x+7=4，
∴C点坐标为：（-1，4）．

（3）能．
理由：∵C（-1，4），
∴E（3，0）．
设P（0，y），
∵PC=PE时最小，
∴1²+（y-4）²=3²+y²，解得y=1，
∴P（0，1）．

点评 此题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出C、D两点坐标之间的关系是解决问题的关键．