Question

18．已知：如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB，求证：∠ACB=90°．

Answer 1

分析 先由CD=$\frac{1}{2}$AB，得到AD=CD，根据等边对等角得出∠ACD=∠A，再由中点的定义得到AD=BD，则BD=CD，∠BCD=∠B，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+（∠ACD+∠BCD）=180°，即可证明∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°．

解答 证明：∵点D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A．
∵点D为△ABC的边AB的中点，
∴AD=BD，
∵AD=CD，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠B．
∵∠A+∠B+（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD+（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
即∠ACB=90°．

点评 本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，中点的定义，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．