Question

13．如图，在△ABC中，已知BC=4cm，AC=2$\sqrt{3}$cm，∠C=60°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，交AC于点D，试问：PB为多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 首先根据在△ABC中，已知BC=4，AC=2$\sqrt{3}$，∠C=60°，设PB=x，列出△APD的面积关于x的二次函数，利用配方法求得最大值，即为所求△APD的面积最大值．

解答 解：设BP=x，则PC=4-x，过点A作AH⊥AC于点H，

∵∠C=60°，∴∠HPC=30°，
∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），
∵AB∥PD，
∴PB：BC=AD：AC，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD•PH=$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）=-$\frac{3}{8}$（x-2）²+$\frac{3}{2}$，
当x=2时，△APD的面积最大，
∴PB=2时，△APD的面积最大，最大面积为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角形面积的计算、三角函数、直角三角形的性质．解决本题的关键点是证得△ABC为Rt△，从而利用三角函数建立起边间的关系；并在解题过程中转化成求二次函数的最值问题．