Question

18．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，两个函数：y=2x+1，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）若y=$\frac{2}{x}$的值不大于2，求符合条件的x的范围；
（3）y=2（x-m）²+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，解之即可得出x的取值范围；
（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵在一次函数y=2x+1中k=2＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x=2时，y_最小=5；当x=4时，y_最大=9．
∵在二次函数y=2（x-1）²+1中a=2＞0，且对称轴为x=1，
∴当x=2时，y_最小=3；当x=4时，y_最大=19．
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1．
（3）当m＜2时，有2（2-m）²+m-2=1，
解得：m₁=1，m₂=$\frac{5}{2}$（舍去）；
当2≤m≤4时，有m-2=1，
解得：m₃=3；
当m＞4时，有2（4-m）²+m-2=1，
整理得：2m²-15m+29=0．
∵△=（-15）²-4×2×29=-7，
∴m的值为1或3．

点评 本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据一次（二次）函数的性质解决最值问题；（2）找出关于x的不等式；（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑．