Question

10．（1）如图①，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？
（2）反之，在图①中，若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？
（3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？
（4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？

Answer 1

分析 （1）首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可．
（2）首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，可得∠D=∠2，据此判断出EF∥CD，再根据EF∥AB，可得AB∥CD，据此判断即可．
（3）首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可．
（4）首先作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，根据AB∥CD，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，据此判断即可．

解答 解：（1）如图1，作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠D=∠2，
∴∠B+∠D=∠1+∠2，
又∵∠1+∠2=∠E，
∴∠B+∠D=∠E．

（2）如图2，作EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠1，
∵∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D，
∴∠D=∠2，
∴EF∥CD，
又∵EF∥AB，
∴AB∥CD．

（3）如图3，过E作EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠BEF+∠B=180°，
∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF=180°，
∵∠BEF+∠DEF=∠E，
∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．

（4）如图5，作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；
∵∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，
∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．

点评 此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是要明确：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．