Question

16．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作BD⊥AE于D．
（1）求证：∠DBA=∠ABC；
（2）如果BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OA，由AE为⊙O的切线，BD⊥AE得到∠DAO=∠EDB=90°，于是得到DB∥AO，推出∠DBA=∠BAO，由于OA=OB，得到∠ABC=∠BAO，即可得到结论；
（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．

解答 （1）证明：如图，连接OA，
∵AE为⊙O的切线，BD⊥AE，
∴∠DAO=∠EDB=90°，
∴DB∥AO，
∴∠DBA=∠BAO，
又∵OA=OB，
∴∠ABC=∠BAO，
∴∠DBA=∠ABC；

（2）解：∵BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DBA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∵∠DBA=∠CBA，
∴BC=$\frac{AB}{cos∠CBA}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=5．
∴⊙O的半径为2.5．

点评 本题考查了切线的判定．已知某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），可得垂直，同时考查了三角函数的知识．