Question

8．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=$\sqrt{10}$，CH=5$\sqrt{2}$．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连结AC，先求得AC是直径，从而求得∠D=∠ACB，根据已知得出AB=6，然后根据勾股定理求得AC，根据勾股定理逆定理证得∠CAH=90°即CA⊥AH，即可证得结论；
（2）由点D是弧CE的中点，得出∠EAD=∠DAC，进而求得∠EAH=∠HCA，然后求得∠AFH=∠HAF，根据等角对等边得出$HF=HA=\sqrt{10}$，最后根据射影定理得出AH²=EH•CH，即可求得EH的值，进而求得EF的值．

解答 （1）证明：连结AC，
∵AB⊥BC于点B，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠D=∠ACB，
∴tanD=tan∠ACB=3，
在Rt△ABC中，BC=2，
∴AB=3BC=6，
由勾股定理$AC=2\sqrt{10}$，
在△CAH中，由勾股定理逆定理：AC²+AH²=50=CH²，
∴∠CAH=90°即CA⊥AH，
∴AH是⊙O的切线．
（2）解：∵点D是弧CE的中点，
∴∠EAD=∠DAC，
∵AC是⊙O的直径，
∴AE⊥CH，
∴∠H+∠EAH=∠H+∠HCA=90°，
∴∠EAH=∠HCA，
∴∠EAD+∠EAH=∠DAC+∠HCA，
即∠AFH=∠HAF，
∴$HF=HA=\sqrt{10}$，
∵CA⊥AH，AE⊥CH，
∴AH²=EH•CH可得$EH=\sqrt{2}$，
∴$EF=\sqrt{10}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理逆定理的应用，直角三角函数的应用，圆周角定理，射影定理等，作出辅助线，证得AC是圆的直径是解题的关键．