如图.平面直角坐标系中.抛物线y=-$\frac{3}{4}$x2+$\frac{9}{4}$x+3交x轴交于点A.B.交y轴于点C.点P从O出发.以每秒1个单位的速度向终点B运动.同时点Q从B出发.以每秒1个单位的速度向终点O运动.过点Q作DQ⊥x轴.交BC于点D.连接CP.DP．设运动时间为t．(I)当t=1时．求线段PQ的长,(2)求点D的坐标,(3)在点P.Q的运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3交x轴交于点A、B，交y轴于点C，点P从O出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时点Q从B出发，以每秒1个单位的速度向终点O运动，过点Q作DQ⊥x轴，交BC于点D，连接CP、DP．设运动时间为t．
（I）当t=1时．求线段PQ的长；
（2）求点D的坐标（用含t的式子表示）；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在t的值，使△DPQ与△COP相似？若存在．求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）先确定出点A，B，C的坐标，再由运动即可得出PQ；
（2）先确定出直线BC解析式，进而得出OQ，代入直线BC解析式中，即可得出点D的坐标；
（3）先由运动表示出OP，PQ，再分两种情况讨论计算即可．

解答解：（1）抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3交x轴交于点A、B，交y轴于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，3），
∴OB=4，
当t=1时，OP=t=1，BQ=t=1，
∴PQ=OB-OP-BQ=4-1-1=2；
（2）∵B（4，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
由运动有，BQ=t，
∴OQ=4-t，
∴DQ=-$\frac{3}{4}$（4-t）+3=$\frac{3}{4}$t，
∴D（4-t，$\frac{3}{4}$t）；
（3）∵C（0，3），∴OC=3，
当0＜t＜2时，
由运动知，OP=t，BQ=t，
∴PQ=4-2t，
由（2）知，DQ=$\frac{3}{4}$t，
∵DQ⊥x轴，
∴∠COP=∠DQP=90°，
∵△DPQ与△COP相似，
∴Ⅰ、$\frac{OC}{DQ}=\frac{OP}{PQ}$，
∴$\frac{3}{\frac{3}{4}t}=\frac{t}{4-2t}$，
∴t=-4-4$\sqrt{2}$（舍）或t=4$\sqrt{2}$-4，
Ⅱ、$\frac{OC}{PQ}=\frac{OP}{DQ}$，
∴$\frac{3}{4-2t}=\frac{t}{\frac{3}{4}t}$，
∴t=0（舍）或t=$\frac{7}{32}$；
当2＜t＜4时，
由运动知，OP=t，BQ=t，
∴PQ=2t-4，
由（2）知，DQ=$\frac{3}{4}$t，
∵DQ⊥x轴，
∴∠COP=∠DQP=90°，
∵△DPQ与△COP相似，
∴Ⅰ、$\frac{OC}{DQ}=\frac{OP}{PQ}$，
∴$\frac{3}{\frac{3}{4}t}=\frac{t}{2t-4}$，
∴t=4（舍）
Ⅱ、$\frac{OC}{PQ}=\frac{OP}{DQ}$，
∴$\frac{3}{2t-4}=\frac{t}{\frac{3}{4}t}$
∴t=0（舍）或t=$\frac{25}{8}$；
即：△DPQ与△COP相似时，t的值为4$\sqrt{2}$-4或$\frac{7}{32}$或$\frac{25}{8}$