Question

10．如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E和F，且AE＜$\frac{1}{2}$AC，AE=CF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）求AC的长．
（3）当AE的长为2$\sqrt{3}$-2时，四边形DEBF是正方形（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形；
（2）由菱形ABCD的对角线相互垂直平分，对角线平分对角的性质，解直角△AOD可以求得AO的长度，则AC=2AO；
（3）由“正方形的对角线相互垂直平分且相等”进行解答．

解答 （1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；

（2）解：在菱形ABCD中，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，
则AD=4，∠DAO=30°，AC⊥BD且AC=2OA，
在直角△AOD中，OA=AD•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
故AC=2OA=4$\sqrt{3}$；

（3）解：当AE=2$\sqrt{3}$-2时，四边形DEBF是正方形．理由如下：
由（1）知，四边形DEBF是菱形．
当OD=OE时，四边形DEBF是正方形．
∵在直角△AOD中，∠DAO=30°，AD=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴AE=OA-OD=2$\sqrt{3}$-2．
故答案是：2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及三角函数的运用；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．