Question

17．如图所示，已知函数y=$\frac{k}{x}$的图象与直线OA交于点A（1，$\sqrt{3}$），函数图象上一点B，x正半轴上的任意一点C，OB平分∠AOC．
（1）直接写出k的值和∠AOC的度数；
（2）求点B的坐标；
（3）若点P是直线OB上一动点，当点P运动到何处时，△ABP与△AOB相似，说明理由，并求出此时OP的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，把点A（1，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k，作AE⊥OC于E，根据tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$，可以求出∠AOC的值．
（2）如图2中，作BF⊥OC于F．因为OB平分∠AOC，所以∠BOF=30°，设BF=a，则OF=$\sqrt{3}$a，可得B（$\sqrt{3}$a，a），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，求出a即可解决问题．
（3）如图3中，当∠PAB=∠AOB=30°时，△APB∽△AOB，由△APB∽△OAB，得$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$，推出PB=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作AE⊥OC于E．

∵A（1，$\sqrt{3}$），点A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=$\sqrt{3}$，OE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC=60°．

（2）如图2 中，作BF⊥OC于F．

∵OB平分∠AOC，
∴∠BOF=30°，设BF=a，则OF=$\sqrt{3}$a，
∴B（$\sqrt{3}$a，a），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，得a=1或-1（舍弃），
∴点B坐标（$\sqrt{3}$，1）．

（3）如图3中，当∠PAB=∠AOB=30°时，△APB∽△AOB．

∵OA=OB=2，∠AOB=30°，AB=$\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}+（\sqrt{3}-1）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∴∠ABO=∠ABP，∵∠BAP=∠BOA，
∴△APB∽△OAB，
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$，
∴PB=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$，
∴OP=2-（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2．
∴当点P运动到OP=2$\sqrt{3}$-2时，△APB∽△AOB．

点评 本题考查反比例函数综合题、角平分线的性质、30度的直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、两点间距离公式，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．