Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；
（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为（2，3）时，四边形PQAC是平行四边形；（直接写出结果，不写求解过程）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后化为顶点式求出D点坐标；
（2）本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式，这个表达式是关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值，并求出P点坐标；
（3）当四边形PQAC为平行四边形时，如图所示．构造全等三角形求出P点的纵坐标，再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点，求出P点的横坐标

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3，y=-（x-1）²+4
∴顶点D的坐标是（1，4）．

（2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0）
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{k+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式：y=-2x+6
∵P点在线段BD上，因此，设点P坐标为（m，-2m+6）
又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=-2m+6，OM=m
又∵A（-1，0），C（0，3）∴OA=1，OC=3
设四边形PMAC面积为S，则
S=$\frac{1}{2}$OA•OC+$\frac{1}{2}$（PM+OC）•OM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（-2m+6+3）•m
=-m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{3}{2}$=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{105}{16}$，
∵1＜$\frac{9}{4}$＜3
∴当m=$\frac{9}{4}$时，四边形PMAC面积的最大值为$\frac{105}{16}$，
将x=$\frac{9}{4}$代入y=-2x+6 解得y=$\frac{3}{2}$，
此时，P点坐标是（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

（3）答案：（2，3）；
如图，∵四边形PQAC是平行四边形，
∴AC=PQ，AC∥PQ，
∴∠CAO=∠PQE，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴∠PEQ=90°=∠COA，
在△AOC和△QEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COA=∠PEQ=90°}\\{∠CAO=∠PQE}\\{AC=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△QEP，
∴y_P=PE=CO=3．
又CP∥x轴，
则点C（0，3）与点P关于对称轴x=1对称，
∴x_P=2．
∴P（2，3）．
故答案为（2，3）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、平行四边形、等腰三角形、三角函数（或相似三角形）等，解本题的关键是得出直线BD的解析式，是一道中等难点的中考常考题．