Question

13．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点F，弦CD交弦AB于点E，线段ED的垂直平分线GP交AB延长线于点P，连结PD．
（1）求证：直线PD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为10，弦CD=16，求sin∠PDC的值．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OD，欲证明PD是切线，只要证明∠ODP=90°即可．
（2）作OM⊥CD于M，则CM=DM=8，只要证明∠PDC=∠DOM，可得sin∠PDC=sin∠DOM=$\frac{DM}{OD}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接OD，
∵PG垂直平分线段DE，
∴PE=PD，
∴∠PED=∠PDE，
∵OC⊥AB，
∴∠EFC=90°，
∴∠FCE+∠FEC=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠FEC=∠PED=∠PDF，
∴∠ODC+∠PDC=90°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：作OM⊥CD于M，则CM=DM=8，
∵∠PDC+∠ODC=90°，○ODC+∠DOM=90°，
∴∠PDC=∠DOM，
∴sin∠PDC=sin∠DOM=$\frac{DM}{OD}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．