Question

5．从-1，0，1，2，3这五个数中，随机抽取一个数记为m，则关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-m≤-2}\\{2-x≤2m}\end{array}\right.$无解，并且使函数y=（m-1）x²+2mx+m+2与x轴有交点的概率为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 首先求得关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-m≤-2}\\{2-x≤2m}\end{array}\right.$无解时，m的取值范围；使函数y=（m-1）x²+2mx+m+2与x轴有交点时，m的取值范围，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．

解答 解：∵关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-m≤-2}\\{2-x≤2m}\end{array}\right.$无解，
∴m-2＜2-2m，
解得：m＜$\frac{4}{3}$，
∵使函数y=（m-1）x²+2mx+m+2与x轴有交点，
∴△=（2m）²-4（m-1）（m+2）=-4m+8≥0，
∴m≤2且m≠1，
m=1，函数是一次函数与x轴有交点，
综上可得：m＜$\frac{4}{3}$，
∴m=-1，0，1，
∴关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-m≤-2}\\{2-x≤2m}\end{array}\right.$无解，并且使函数y=（m-1）x²+2mx+m+2与x轴有交点的概率为：$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了概率公式的应用、不等式组无解以及二次函数与x轴的交点问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．