Question

16．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O是AB的中点，点M，N分别在边AC，BC上，OM⊥ON，连MN，AC=4，BC=8，设AM=a，BN=b，MN=c．
（1）求证：a²+b²=c²；
（2）①若a=1，求b；②探究a与b的函数关系；
（3）△CMN面积的最大值为$\frac{25}{4}$（不写解答过程）

Answer 1

分析 （1）过点B作BE∥AC交MO的延长线于E，连接NE，由△AOM≌△BOE，得MO=OE，AM=BE=a，根据垂直平分线的性质得NM=NE，只要证明△NBE是RT△即可．
（2）①根据MN²=AM²+BN²=CM²+CN²列出方程即可解决．
②方法类似①．
（3）根据S_△CMN=$\frac{1}{2}$（4-a）（8-b）=-b²+11b-24，利用二次函数的性质解决问题．

解答 （1）证明：如图，过点B作BE∥AC交MO的延长线于E，连接NE．
∵AM∥BE，
∴∠A=∠OBE，
在△AOM和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OBE}\\{AO=BO}\\{∠AOM=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BOE，
∴MO=OE，AM=BE=a，
∵OM⊥ON，
∴MN=NE=c，
∵∠C=90°
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠OBE+∠ABC=90°，
∴∠EBN=90°，
∴NE²=BN²+BE²，
∵NE=c，BE=a，BN=b，
∴a²+b²=c²．
（2）①在RT△MNC中，MN²=CM²+CN²，
∴c²=（4-a）²+（8-b）²，∵a=1，a²+b²=c²，
∴9+（8-b）²=1+b²，
∴b=$\frac{9}{2}$
②∵c²=（4-a）²+（8-b）²=a²+b²，
∴a+2b=10．
（3）S_△CMN=$\frac{1}{2}$（4-a）（8-b）=-b²+11b-24=-（b-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴当b=$\frac{11}{2}$时，S_△CMN最大值=$\frac{25}{4}$．
故答案为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的最值问题，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．