Question

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段

 

．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的对角线交点，连结BD，当BD平分∠ABC时，则四边形ACEF为

 

（填特殊的四边形名称）

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据损矩形的直径的定义即可证得；
（2）如图1所示，通过尺规作图即可求得圆P，由于△ABC和△ACD是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半，即可得到PA=PB=PC=PD，所以损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上；
（3）先判定A、B、C、D共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC=∠DBC，根据菱形的性质则∠DAC=∠DAF，然后根据已知条件即可判断∠FAC=∠ABC=90°，即菱形ABCD是正方形．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴损矩形的直径是AC；

（2）如图1所示：

∵AP=CP，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DP=BP=

1

2

AC，
∴PA=PB=PC=PD，
∴损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上；

（3）如图2，∵四边形ACEF是菱形，
∴∠ADC=90°，∠DAC=∠DAF，
∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D共圆，
∴∠DAC=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD+∠DBC=∠DAC+∠DAF，
即∠FAC=∠ABC=90°，
∴菱形ACEF是正方形．

点评：本题考查了损矩形的直径的概念，直角三角形斜边中线的性质，圆周角的性质，菱形的性质，正方形的判定以及尺规作图等．