Question

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，Rt△ABC绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在斜边AB上的点D处，设点A旋转后与点E重合，连接AE，过点E作直线EM与射线CB垂直，交点为M．
（1）若点M与点B重合，如图1，求cot∠BAE的值；
（2）若点M在边BC上如图2，设边长AC=x，BM=y，点M不与点B重合，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若∠BAE=∠EBM，求斜边AB的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转有，BC=BD=2，AC=ED，∠CBA=∠EBD=∠C=90°，通过计算出AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，DE=DB=2，即可；
（2）由（1）中的结论得出△EDG∽△BDE，再由cos∠ABC=$\frac{MB}{BG}=\frac{BC}{AB}$，建立函数关系；
（3）由旋转有，AB=EB，∠AEB=∠BAE，∠CBA=x经过简单的计算出：HC=BC=2，HB=HE=4，∠CBA=60°即可．

解答 解：（1）由旋转有，BC=BD=2，AC=ED，∠CBA=∠EBD=∠C=90°，
∵EM⊥CB，
∴∠EBC=90°，
∴∠CBA=∠EBD=45°，
∴AC=CB=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵DE=DB=2，
∴AD=AB-BD=2$\sqrt{2}$-2，
∴cot∠BAE=$\frac{AD}{DE}$=$\sqrt{2}$-1，
（2）设EM与边AB交于G，
由（1）有∠DEM+∠DGE=90°，∠BGM+∠ABM=90°，∠DGE=∠BGM，
∴∠DEM=∠CBA，∠EBD=∠CBA，
∴∠DEM=∠EBD，∠EDG=∠BDE，
∴△EDG∽△BDE，
∴$\frac{ED}{BD}=\frac{DG}{ED}$，
∵BC=BD=2，AC=ED=x，
∴$\frac{x}{2}=\frac{DG}{x}$，
∴DG=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∵cos∠ABC=$\frac{MB}{BG}=\frac{BC}{AB}$，
∴AB=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，GB=$\frac{4-{x}^{2}}{2}$，
∴$\frac{y}{\frac{4-{x}^{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，
∴y=$\frac{4-{x}^{2}}{{x}^{2}+4}\sqrt{{x}^{2}+4}$（0＜x＜2）
（3）延长EA，BC交于H，如图1，

由旋转有，AB=EB，∠AEB=∠BAE，∠CBA=x
∴∠ABE=x，∠BAE=∠EBM，
∴∠AEB=∠BAE=∠EBM=2x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴x=36°，
∴∠H=∠ABH=∠ABE=36°，
∠HBE=∠BAE=∠AEB=72°，
∴AH=AB=BE，HB=HE，
∵∠ACB=90°
∴HC=BC=2，
∴HB=HE=4，
∴△BAE∽△HBE，
∴$\frac{AB}{HB}=\frac{AE}{BE}$，
∵BE=AB，
∴AE=HE-HA=4-AB，
∴$\frac{AB}{4}=\frac{4-AB}{AB}$，
∴AB=-2+2$\sqrt{5}$或AB=-2-2$\sqrt{5}$（舍），
当点M在CB延长线时，如图2，

∵∠AEB=∠BAE=∠EBM，
∴∠AEB=∠EBM，
∴AE∥MC，
∴∠BAE=∠CBA，
∵∠CBA=∠EBA，
∴∠EBM=∠CBA=∠EBA，
∴∠CBA=60°，
∵cos∠CBA=$\frac{BC}{AB}$，
∴BC=2，
∴AB=4，
即：AB=-2+2$\sqrt{5}$或4．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平移，旋转的性质，三角函数相似三角形的性质和判定，由平移，旋转得出结论是解本题的关键．