题目内容

13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点C在x轴上，点D在第一象限．直线y=$\frac{1}{2}$x+3经过点B和点D．双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）也经过点D．
（1）填空：OB长为3，OC长为4；
（2）若点E是双曲线第一象限上的点，当△ECD的面积等于菱形ABCD面积的$\frac{1}{4}$时．求点E的坐标；
（3）若点Q是双曲线上的点，点P是坐标轴上的点．当B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出直线OQ的解析式．

分析 （1）令直线BD的解析式中x=0求出y值，即可得出OB的长，设OC=x，则D（x，$\frac{1}{2}$x+3），C（x，0），根据菱形的性质结合勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可求出OC的长度；
（2）由勾股定理求出BC的长度，结合OB、OC即可得出点A、B、C的坐标，再根据菱形的性质即可得出点D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，设点E的坐标为（n，$\frac{20}{n}$）（n＞0），根据菱形的面积公式、三角形的面积公式以及△ECD的面积等于菱形ABCD面积的$\frac{1}{4}$，即可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出n值，将其代入点E坐标中即可得出结论；
（3）分以线段BC为边和以线段BC为对角线两大块考虑，在每种情况下再分点P在x轴上和在y轴上考虑，设出点P的坐标，结合点B、C、P的坐标即可得出点Q的坐标，由点Q在反比例函数上即可求出点P、Q的坐标，由点Q的坐标利用待定系数法即可求出直线OQ的解析式．

解答 解：（1）令y=$\frac{1}{2}$x+3中x=0，则y=3，
∴OB=3．
设OC=x，则D（x，$\frac{1}{2}$x+3），C（x，0），
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=$\frac{1}{2}$x+3=BC=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
解得：x=4或x=0（舍去），
故答案为：3；4．
（2）∵BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴A（0，8），
又∵C（4，0），B（0，3），
∴D（4，5），
∴5=$\frac{k}{4}$，k=20，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{20}{x}$．
设点E的坐标为（n，$\frac{20}{n}$）（n＞0），
S△ECD=$\frac{1}{2}$CD•|xE-xC|=$\frac{5}{2}$|n-4|，S菱形ABCD=AB•OC=20，
∵S△ECD=$\frac{1}{4}$S菱形ABCD=5，即|n-4|=2，
解得：n=2或n=6，
∴点E的坐标为（2，10）或（6，$\frac{10}{3}$）．
（3）以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①以线段BC为边，如图1所示．
当点P在x轴上时，设点P的坐标为（m，0），
∵B（0，3），C（4，0），
∴Q（m-4，3）或（m+4，-3），
∴3=$\frac{20}{m-4}$或-3=$\frac{20}{m+4}$，
解得：m=$\frac{32}{3}$或m=-$\frac{32}{3}$，
此时，Q（$\frac{20}{3}$，3）或（-$\frac{20}{3}$，-3）；
当点P在y轴上，此时P、A重合，D、Q重合，
由对称性可得出，Q（4，5）或（-4，-5）；
②以线段BC为对角线，如图2所示．
当点P在x轴上时，设P（m，0），
∵B（0，3），C（4，0），
∴Q（2-m，3），
∴3=$\frac{20}{2-m}$，解得：m=-$\frac{14}{3}$，
此时，Q（$\frac{20}{3}$，3）；
当点P在y轴上时，此时点Q、D重合，
∴Q（4，5）．
综上可知：点Q的坐标为（$\frac{20}{3}$，3）、（-$\frac{20}{3}$，-3）、（4，5）或（-4，-5）．
设直线OQ的解析式为y=ax，
当Q点为（$\frac{20}{3}$，3）和（-$\frac{20}{3}$，-3）时，有3=$\frac{20}{3}$a，解得：a=$\frac{9}{20}$，
此时OQ的解析式为y=$\frac{9}{20}$x；
当Q点为（4，5）和（-4，-5）时，有5=4a，解得：a=$\frac{5}{4}$，
此时OQ的解析式为y=$\frac{5}{4}$x．
∴直线OQ的解析式为y=$\frac{9}{20}$x或y=$\frac{5}{4}$x．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合勾股定理求出OC；（2）有点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的解析式；（3）分情况考虑．本题属于中档题，（3）难度不大，解决该问时，先按以线段BC为边和以线段BC为对角线两大类来考虑，再按点P在x、y轴上分，解决该题型题目时离不开图形，利用数形结合解决问题是该问的关键．

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2．阅读材料：
①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）；
②两条平行线l1，l2，直线l1上任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；
③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）=0；
④若直线l1，l2重合，我们定义d（l1，l2）=0，
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