Question

8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，直线L交x轴于点C（2，0），交边AB于E，且△ADE与△COD的面积相等，点E在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，则k=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 连接AC，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出△ABC是直角三角形，再由S_△ADE=S_△DCO，S_△AEC=S_△ADE+S_△ADC，S_△AOC=S_△DCO+S_△ADC，可得出S_△AEC=S_△AOC，故可得出AE的长，再由中点坐标公式求出E点坐标，把点E代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$即可求出k的值．

解答 解：连接AC，
∵△AOB是边长为2的等边三角形，
∴点B的坐标为（-2，0），OA=2，
∵C（2，0），
∵AO=OC=2，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOB=60°，
∴∠ACO=30°，∠B=60°，
∴∠BAC=90°，
∴点A的坐标为（-1，$\sqrt{3}$），
∵S_△ADE=S_△DCO，S_△AEC=S_△ADE+S_△ADC，S_△AOC=S_△DCO+S_△ADC，
∴S_△AEC=S_△AOC=$\frac{1}{2}$×AE•AC=$\frac{1}{2}$×CO×$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$AE•2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$，
∴AE=1．
∴E点为AB的中点（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
把E点（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=（-$\frac{3}{2}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，综合性较强．