Question

5．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
（3）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形EGFH为菱形．

Answer 1

分析 （1）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值；
（3）首先，当四边形EGFH为菱形时，其对角线互相垂直且互相平分，在根据这一特点构造直角三角形，利用勾股定理求得t的对应的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，∠GAF=∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△AFG与△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠GAF=∠HCE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE
同理：GE=HF
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：如下图所示，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH=BC=4，
∴当EF=GH=4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5-2t=4，
解得：t=0.5．
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4
解得：t=4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
                      
（3）如下图所示，连接AG、CH

∵如果四边形EGFH是菱形，
则必有EF⊥GH，OE=OF，OG=OH
∴易证△CAB∽△CGO
∴$\frac{AB}{OG}=\frac{AC}{CG}$
∴$\frac{3}{OG}=\frac{5}{7-t}$
∴OG=$\frac{21-3t}{5}$
又在Rt△ABG中，AB=3，BG=t-3，
∴AG²=（t-3）²+9，
∴在Rt△AGO中，（t-3）²+9=（$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{21-3t}{5}$）²，
化简得：64t²-96t-589=0
           （8t-6）²=625，
             8t-6=±25
       解得：t₁=$\frac{31}{8}$或t₂=-19（舍去）
即：当t为$\frac{31}{8}$秒时，四边形EGFH为菱形．

点评 本题考查了特殊四边形的判定、性质及综合应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质、判定，具有应用代数的方法解决几何问题的意识．