Question

4．如图，在四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边BC上（不与点B，点C重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线于点F，AF与CD相交于点H．下列结论：①∠BAE=∠FEC；②AE=EF；③△CEF的面积最大值为2；④BE+DH=EH．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 在BA上截取BM=BE，如图1，易得△BEF为等腰直角三角形，则∠BME=45°，所以∠AME=135°，再利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可对①进行判断；于是根据“ASA”可判断△AME≌△ECF，则根据全等三角形的性质可对②进行判断；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=4-x，利用三角形面积公式得到S_△AME=$\frac{1}{2}$•x•（4-x），则根据二次函数的性质可判断当x=2时，S_△AME有最大值2，则利用△AME≌△ECF可对③进行判断；判断△AEF为等腰直角三角形得到∠EAF=45°，延长EB到G点，使BG=DH，如图2，易得△ABG≌△ADH，则AG=AH，∠BAG=∠DAH，于是根据“SAS”证明△AEG≌△AEH，所以EG=EH，于是得到BE+DH=EH，则可对④进行判断．

解答 解：在BA上截取BM=BE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，BA=BC，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵BA-BM=BC-BE，
∴AM=CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，所以①正确；
在△AME和△ECF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF，
∴AE=EF，所以②正确；
设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=4-x，
S_△AME=$\frac{1}{2}$•x•（4-x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
当x=2时，S_△AME有最大值2，
而△AME≌△ECF，
∴S_△AME=S_△CEF，
∴S_△CEF有最大值2，所以③正确；
∵AE=EF，AE⊥EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
延长EB到G点，使BG=DH，如图2，
在△ABG和△ADH中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADH}\\{BG=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADH，
∴AG=AH，∠BAG=∠DAH，
而∠DAH+∠BAH=90°，
∴∠BAG+∠BAH=90°，即∠GAH=90°，
∴∠GAE=90°-∠EAF=45°，
∴∠GAE=∠HAE，
在△AEG和△AEH中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AH}\\{∠EAG=∠EAH}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEH，
∴EG=EH，即BE+BG=EH，
∴BE+DH=EH，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．构建△AME与△EFC全等是判断①②③的关键；而构建△AEG与△AEH全等是判断④的关键．