Question

11．如图，扇形OAB的半径为4，∠AOB=90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．
（1）当P是OB中点，且PQ∥OA时（如图1），弧AQ的长为$\frac{2}{3}$π；
（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP=3，则O到折痕PQ的距离为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）要想求弧长，就得求$\widehat{AD}$所对的圆心角的度数，所以要连接OQ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出∠1=30°，再利用平行线截得内错角相等得出∠2的度数，代入弧长公式计算即可．
（2）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=$\frac{1}{2}$OO′=$\sqrt{6}$．

解答 解：（1）如图1，连接OQ，
∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点，
∴OP=2，OQ=4，
∵PQ∥OA，
∴∠BPQ=∠AOB=90°，
∴∠1=30°，
∴∠2=∠1=30°，
由弧AQ的长=$\frac{30×π×4}{180}$=$\frac{2}{3}$π，
故答案为：$\frac{2}{3}$π；
（2）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，
则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是$\widehat{B′Q}$所在圆的圆心，
∴O′C=OB=4，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，
∴O′C⊥AO，
∴O′C∥OB，
∴四边形OCO′B是矩形，
在Rt△O′BP中，O′B=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OBO′K，OO′=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴OM=$\frac{1}{2}$OO′=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{6}$，
即O到折痕PQ的距离为$\sqrt{6}$，
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=$\frac{nπR}{180}$（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．