在平面直角坐标系中.抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A.B两点.点A在点B的左侧．(1)如图1.如果B点坐标为(2.3).那么k=1,A点坐标为,的条件下.点P为抛物线上的一个动点.且在直线AB下方.试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标,(3)如图.抛物线y=x2+与x轴交于C.D两点．在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q.使得∠OQC=90� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，如果B点坐标为（2，3），那么k=1；A点坐标为（-1，0）；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图，抛物线y=x²+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）把（2，3）代入其中一个函数解析式即可求出k的值，求出抛物线的解析式后，令y=0代入，求出x的值，即可求出A的坐标；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D且交AB于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点P的横坐标为a，然后分别求出PE和AF的长度，所以△ABP的面积为$\frac{1}{2}$PE•AF，利用二次函数的性质即可求出△ABP的面积最大值；
（3）在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，即以CO为直径的圆与直线AB相切，此时切点为Q，利用相似三角形的性质求出AQ的长度，再利用切线长定理和勾股定理即可求出AO的长度，从而求出k的值．

解答解：（1）把B（2，3）代入y=x²+（k-1）x-k，
∴3=4+2（k-1）-k
∴k=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-1，
令y=0代入y=x²-1，
∴x=±1，
∴A的坐标为（-1，0），
故答案为：1； A（-1，0）；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D且交AB于点E，
过点B作BF⊥x轴于点F，如图1，
∴由（1）可知：k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵B（2，3），
∴F（2，0），
设P的坐标为（a，a²-1），-1＜a＜2，
△ABP的面积为S，
∴E的横坐标为a，
把x=a代入y=x+1，
∴y=a+1，
∴E的坐标为（a，a+1），
∴PE=（a+1）-（a²-1）=-a²+a+2，
∴S=$\frac{1}{2}$PE•OD+$\frac{1}{2}$PE•DF
=$\frac{1}{2}$PE•AF
=$\frac{3}{2}$（-a²+a+2）
=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
当a=$\frac{1}{2}$时，S的最大值为$\frac{27}{8}$，
此时，P（$\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{4}$）；

（3）以CO为直径，作⊙M，
当直线AB与⊙M相切时，
此时在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，且切点为Q，
连接QM，如图2
令y=0代入y=x²+（k-1）x-k，
解得：x=-k或x=1，
∴C（-k，0）
设直线AB与y轴交于点G，
令x=0代入y=kx+1，
∴x=-$\frac{1}{k}$
∴A（-$\frac{1}{k}$，0），
令x=0代入y=kx+1
∴y=1，
∴G（0，1），
∴OG=1，AO=$\frac{1}{k}$，OC=k，
∵∠MQA=∠AOG=90°，
∠GAO=∠GAO，
∴△QAM∽△OAG，
∴$\frac{QM}{OG}$=$\frac{AQ}{AO}$，
∵QM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{k}{2}$，
∴$\frac{\frac{k}{2}}{1}=\frac{AQ}{\frac{1}{k}}$，
∴AQ=$\frac{1}{2}$，
∵GO与⊙M相切，
∴由切线长定理可知：GO=QG=1，
∴AG=AQ+GO=$\frac{3}{2}$，
∴由勾股定理可求得：AO=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{1}{k}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．