Question

16．用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．

（1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成．
①设DE等于x m，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
②菜园的面积能不能等于110m²？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
（2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）①首先设DE=xm，根据周长表示出CD=16-$\frac{1}{2}$x（m），进而利用矩形面积公式得出答案；
②利用一元二次方程的解法结合①中自变量取值范围得出答案；
（2）首先设BF=tm，则DE=（t+8）m、AD=（12-t）m，再利用矩形面积公式求出答案．

解答 解：（1）①设DE=xm，则CD=EF=16-$\frac{1}{2}$x（m），
则y=x（16-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{1}{2}$x²+16x，（0＜x≤8）；
②令y=110，即-$\frac{1}{2}$x²+16x=110，
解得：x₁=10，x₂=22，
∵0＜x≤8，
∴x₁=10，x₂=22均不符合题意，
故菜园的面积不能等于110m²；

（2）设菜园的面积为S，BF=t（m），则DE=t+8（m），AD=EF=$\frac{32-t-（t+8）}{2}$=12-t（m），
则S=（t+8）（12-t）=-t²+4t+96=-（t-2）²+100，
∴当t=2时，S最大，最大值为100，
答：菜园面积的最大值为100m²．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，根据题意正确表示出矩形的边长是解题关键．