Question

7．如图甲，Rt△ABC≌Rt△CDE，且∠ABC=∠EDC=90°，B，C，D三点共线，又点F为AE中点．
（1）求证：△BDF为等腰直角三角形；
（2）若B，C，D所在直线经点C旋转成如图乙，其他条件不变，△BDF还是等腰直角三角形吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图甲中，延长BF交DE的延长线于M，先证明△ABF≌△MEF，再证明△BDM是等腰直角三角形，由此可以得出结论．
（2）证明方法类似（1）略．

解答 （1）证明：如图甲中，延长BF交DE的延长线于M．
∵∠ABC=∠EDC=90°，B，C，D三点共线，
∴∠ABC+∠BDE=180°，
∴AB∥ED，
∴∠BAF=∠MEF，
在△ABF和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠MEF}\\{∠AFB=∠MFE}\\{AF=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MEF，
∴AB=ME，BF=MF
∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴AB=CD，BC=DE
∴BD=DM，
∵∠BDM=90°，BF=FM，
∴FB=FD=FM，∠B=∠M=∠BDF=∠MDF=45°，
∴∠BFD=90°，
∴△FBD是等腰直角三角形．
（2）△FBD是等腰三角形．
证明如图乙中，延长BF交DE于M
∵∠ABC=∠EDC=∠BDE=90°
∴AB∥ED，
∴∠BAF=∠MEF，
在△ABF和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠MEF}\\{∠AFB=∠MFE}\\{AF=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MEF，
∴AB=ME，BF=MF
∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴AB=CD，BC=DE，
∴BC-CD=DE-EM，即BD=DM，
∵∠BDM=90°，BF=FM，
∴FB=FD=FM，∠B=∠M=∠BDF=∠MDF=45°，
∴∠BFD=90°，
∴△FBD是等腰直角三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．