Question

2．如图，△ACB与△ADE都是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，∠CDF=45°，DF交BE于F，求证：∠CFD=90°．

Answer 1

分析 如图作CM⊥CD交DF的延长线于M，连接BM，先证明△ACD≌△BCM得BM=AD=ED，再证明△EDF≌△BMF得DF=FM，利用三线合一即可证明．

解答 证明：如图作CM⊥CD交DF的延长线于M，连接BM．
∵∠DCM=90°，∠CDM=45°，
∴∠CMD=90°-∠CDM=45°，
∴∠CDM=∠CMD=45°，
∴CD=CM，
∵∠ACB=∠DCM=90°，
∴∠ACD=∠MCB，
在△ACD和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACD=∠BCM}\\{CD=CM}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCM，
∴AD=BM=ED，∠ADC=∠CMB，
∵∠BMF=∠CMB-∠CMD=∠CMB-45°，∠EDF=∠ADF-∠ADE=∠ADC+∠CDF-∠ADE=∠ADC-45°，
∴∠EDF=∠BMF，
在△EDF和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠BMF}\\{∠EFD=∠MFB}\\{ED=BM}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△BMF，
∴DF=FM，
∵CD=CM，
∴CF⊥DM，
∴∠CFD=90°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，这里证明∠EDF=∠BMF有点难度，利用角的和差进行证明．