Question

3．已知抛物线y=x²-5x+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为点P．
（1）求△ABP的面积；
（2）在该抛物线上是否存在点Q，使S_△ABQ=8S_△ABP？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出x的值即可得出AB两点的坐标；再令x=0，求出y的值可得出C点坐标；利用抛物线的顶点坐标公式即可得出P点的坐标，进而可求出△ABP的面积；
（2）该抛物线上存在点Q，使S_△ABQ=8S_△ABP，若确定Q点的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-5x+4中，令y=0，则x²-5x+4=0，即（x-4）（x-1）=0，
解得x=4，x=1；
∴A（1，0），B（4，0）；
令x=0，得y=4，
∴C（0，4）．
∵点P是抛物线的顶点，
∴P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∵AB=3，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$；

（2）存在，理由如下：
因为S_△ABQ=8S_△ABP，所以h_△ABQ=8h_△ABP=18．
所以令y=18，则x²-5x+4=18，
解得x₁=7，x₂=-2，
所以Q₁（7，18）Q₂（-2，18）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口．