Question

14．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反此列函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD⊥x轴于D．若OA=OB=OD=1，
（1）求A、B的坐标；
（2）求直线AB和反比例函数解析式；
（3）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象上是否存在点P（点P与点O在直线AB的同侧）使得△ACP面积与△ACD面积相等，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B在坐标轴上以及OA=OB=1，即可解决问题．
（2）求出A、B、C三点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）如图，过点D作直线AC的平行线交反比例函数的图象于P₁、P₂，此时△ACP面积与△ACD面积相等．求出直线P₁P₂的解析式，利用方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴A（-1，0），B（0，1），D（1，0）．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+1．
∵OB∥CD，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{OA}{AD}$，
∴$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2，
∴C（1，2），
∵点C在反比例函数图象y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．

（3）如图，过点D作直线AC的平行线交反比例函数的图象于P₁、P₂，此时△ACP面积与△ACD面积相等．

设直线P₁P₂的解析式为y=x+b，把D（1，0）代入y=x+b得到b=-1，
∴直线P₁P₂的解析式为y=x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴满足条件的点P的坐标为（-1，-2）或（2，1）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建一次函数，利用方程组解决两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．