Question

操作探究：小明用长方形的彩纸ABCD，按照如下的方法折了一个纸飞机：
（1）使AB边与DC边重合折叠，然后展开，得出折痕EF（见图1）；
（2）使ED、EA落在EF上，折成如图2的样子，并得折线EP，EQ（见图2）；
（3）将P、Q向背面折叠，使EP、EQ都落在EF上（见图3）；
（4）折后展成图4的样子，便得到了一个我们非常熟悉的纸飞机．为了便于看清飞机的形状，我们给出它的三种视图（图5），图中的虚线表示被遮挡的纸的边缘线．
小明想把这个纸飞机寄给一位国外的小朋友做圣诞礼物，这就需要再做一个长方体的硬纸盒子，像图6那样摆放，把它装进盒子（飞机不折叠）．如果长方形彩纸ABCD的长为26cm，宽为16cm，那么刚好把飞机装入的纸盒的长（XY）、宽（YZ）、高（XX₁）各是多少？（做纸盒的硬纸板的厚度忽略不计，结果保留到0.1cm，参考数据：

2

=1.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92）

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）由飞机的俯视图及展平图得出PQ=2QQ′，利用三角函数求出PQ，即纸盒的宽．
（2）根据主视图，作FG⊥EM，利用三角函数求出纸盒的高．
（3）利用飞机的主视图．将飞机打开展平图，求出EM及MB，利用MH=MB•cos∠BMH求出MH，利用纸盒的长XY=EH=EM+MH，即可求出纸盒的长．

解答：解：（1）根据题意，YZ的长即为图（1）中PQ的长，

如图（1）为飞机的俯视图．将飞机打开展平如图（2）
此时欲求的PQ=2QQ′，而∠QEQ′=

180°

8

=22.5°，∠DEQ=∠DQE=45°．
所以DE=DQ=8．
所以QE=8

2

，QQ′=QE•sin22.5°=8

2

×0.38≈4.29．
所以PQ=2QQ′≈8.6cm．
（2）如图（3），根据主视图，作FG⊥EM，交EM的延长线于G，则XX₁=FG=EFsin∠GEF=26×sin22.5°≈9.9cm．

（3）如图4，过点B作BH⊥EM，交EM的延长线于H，如图5

EM=2EP′=2EP•cos∠PEP′=2×8

2

×0.92≈20.8cm．
MB=AB-AM=AB-AP-PM=AB-AE-EP=26-8-8

2

≈6.7cm．
MH=MB•cos∠BMH=6.7×0.92≈6.2cm．
所以纸盒的长XY=EH=EM+MH=20.8+6.2≈27.0cm．
综上所述，纸盒的长、宽、高分别为27.0cm，8.6cm，9.9cm．

点评：本题主要考查了翻折变换，涉及三角函数，直角三角形及折叠问题，解题的关键是读懂题意并能正确的作出辅助线，利用三角函数求解．