Question

2．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．
（1）如图1中，AC∥DB，请你探究一下∠M，∠A与∠B的数量有何关系，并说明理由
（2）如图2中，当点M向左移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
（3）如图3中，当点M向上移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
（4）如图4中，当点M向下移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？
写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明

Answer 1

分析 （1）先过点M作ME∥AC，得出AC∥ME∥DB，进而得到∠A=∠AME，∠B=∠BME，再根据角的和差关系即可得出∠A+∠B=∠AME+∠BME=∠AMB；
（2）先过点M作MF∥AC，得出AC∥MF∥DB，进而得到∠A+∠AMF=180°，∠B+∠BMF=180°，再根据角的和差关系即可得出∠AMB+∠A+∠B=∠A+∠AMF+∠B+∠BMF=360°；
（3）先过点M作MG∥AC，得出AC∥MG∥DB，进而得到∠A=∠AMG，∠B=∠BMG，再根据角的和差关系即可得出∠A-∠B=∠AMG-∠BMG=∠AMB；
（4）先过点M作MH∥AC，得出AC∥MH∥DB，进而得到∠A=∠AMH，∠B=∠BMH，再根据角的和差关系即可得出∠B-∠A=∠BMH-∠AMH=∠AMB．

解答 解：（1）∠AMB=∠A+∠B．
理由：如图1，过点M作ME∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥ME∥DB，
∴∠A=∠AME，∠B=∠BME，
∴∠A+∠B=∠AME+∠BME=∠AMB；

（2）∠AMB+∠A+∠B=360°．
理由：如图2，过点M作MF∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥MF∥DB，
∴∠A+∠AMF=180°，∠B+∠BMF=180°，
∴∠AMB+∠A+∠B=∠A+∠AMF+∠B+∠BMF=360°；

（3）∠A-∠B=∠AMB．
理由：如图3，过点M作MG∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥MG∥DB，
∴∠A=∠AMG，∠B=∠BMG，
∴∠A-∠B=∠AMG-∠BMG=∠AMB；

（4）∠B-∠A=∠AMB．
理由：如图4，过点M作MH∥AC，
∵AC∥DB，
∴AC∥MH∥DB，
∴∠A=∠AMH，∠B=∠BMH，
∴∠B-∠A=∠BMH-∠AMH=∠AMB．

点评 本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等进行求解．