Question

12．方程x²-2|x|+k=0有2个不相等的根，求k的范围．

Answer 1

分析 分x≥0和x＜0两种情况考虑，利用配方法解一元二次方程可求出x的值，再根据方程x²-2|x|+k=0有2个不相等的根，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

解答 解：当x≥0时，原方程为x²-2x+k=（x-1）²+k-1=0，
解得：x₁=1-$\sqrt{1-k}$，x₂=1+$\sqrt{1-k}$（1-k≥0）；
当x＜0时，原方程为x²+2x+k=（x+1）²+k-1=0，
解得：x₃=-1-$\sqrt{1-k}$，x₄=-1+$\sqrt{1-k}$（1-k≥0）．
∵方程x²-2|x|+k=0有2个不相等的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-k≥0}\\{1-\sqrt{1-k}＜0}\\{-1+\sqrt{1-k}≥0}\end{array}\right.$，
解得：k＜0．
∴若方程x²-2|x|+k=0有2个不相等的根，k的取值范围为k＜0．

点评 本题考查了配方法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，利用配方法求出方程的根结合方程有两个不等的根找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．