Question

如图，PAB为⊙O的割线，PC切⊙O于C，CD为⊙O的直径，DB交PO于E．求证：AC⊥CE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：取AB的中点，利用垂径定理和切线的性质可证得P、F、O、C四点共圆，可证得△DOE∽△ACE，再结合条件可证明△DCE∽△ABC，结合圆周角定理可证得∠DBC=90°，可证得结论．

解答：证明：取AB的中点F，连接OF、CF、BC，
由垂径定理可知OF⊥AB，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OFP=90°=∠PCO，
∴P、F、O、C四点共圆，
∴∠1=∠2，
∴∠DOE=∠AFC，且∠D=∠A，
∴△DOE∽△AFC，
∴

DE

AC

=

OD

AF

=

2OD

2AF

=

CD

AB

，
又∵∠A=∠D，
∴△DCE∽△ABC，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠ACE=∠3+∠DCE=∠4+∠ABC=∠DBC=90°，
∴AC⊥CE．

点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，得出∠ACE=∠DBC，题目比较好，难度适中．