Question

如图：∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃…在射线OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均为等边三角形，若OA₁=1，则△A₆B₆A₇的高为

 

，△A_nB_nA_n+1的面积为

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：规律型

分析：根据等边三角形的性质和∠MON=30°，可求得∠OB₁A₂=90°，可求得A₁A2=2OA₁=2，同理可求得OA_n+1=2OA_n=4OA_n-1=…=2^n-1OA₂=2ⁿOA₁=2ⁿ，再结合含30°角的直角三角形的性质可求得△A_nB_nA_n+1的边长，进一步可求得面积，可得出答案．

解答：解：∵△A₁B₁A₂为等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB₁A₂=90°，可求得A₁A2=2OA₁=2，
同理可求得OA_n+1=2OA_n=4OA_n-1=…=2^n-1OA₂=2ⁿOA₁=2ⁿ，
在△OB_nA_n+1中，∠O=30°，∠B_nA_n+1O=60°，
∴∠OB_nA_n+1=90°，
∴B_nA_n+1=

1

2

OA_n+1=

1

2

×2ⁿ=2^n-1，
即△A_nB_nA_n+1的边长为2^n-1，则可求得其高为

3

2

×2^n-1=

3

×2^n-2，
∴△A₆B₆A₇的高为

3

×2^6-2=16

3

，△A_nB_nA_n+1的面积为

3

4

×（2^n-1）²=

3

×2^2n-4，
故答案为：16

3

；

3

×2^2n-4．

点评：本题主要考查等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA₁的关系是解题的关键，注意等边三角形的面积公式为S=

3

4

a²（a为等边三角形的边长）．