Question

有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．
（1）如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合，则BD=

 

；
（2）如图2，若将直角C沿MN折叠，使点C落在AB边的中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则AM²、BN²与MN²之间有怎样的数量关系？并证明你的接了呢（提示：过点B作BP∥AC，与MH的延长线交于点P）．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）求出AB的长度，运用角平分线的性质即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明△PBH∽△MAH，进而证明PB=AM，PH=MH；证明PN=MN，运用勾股定理即可解决问题．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：
AB²=AC²+BC²，而AC=6，BC=8，
∴AB=10；由题意得：
AD平分∠BAC，
∴BD：（8-BD）=AB：AC，
∴BD=5（cm）．
故答案为5cm．
（2）如图，过点B作BP∥AC，交EH的延长线于点P，连接NP；
则∠PBN+∠C=180°，△PBH∽△MAH；而∠C=90°，
∴∠PBN=90°，

PB

AM

=

PH

MH

=

BH

AH

，而AH=BH，
∴PB=AM，PH=MH；而NH⊥MP，
∴PN=MN；由勾股定理得：PN²=PB²+BN²，
∴MN²=AM²+BN²．

点评：该题以直角三角形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形、全等三角形的性质．