Question

15．如图，在圆周上两个不同的点上分别写上1，2，第1次操作：在数字1、2将圆周分成的两条圆弧中点上写上$\frac{1+2}{1}$=3，第2次操作：在数字1，3，2，3将圆周分成的四条圆弧中点依次写上$\frac{1+3}{2}$=2，$\frac{3+2}{2}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{2+3}{2}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{3+1}{2}$=2，…，第k次操作是在上一次操作基础上，在每两个相邻的数分成的圆弧中点写上这两个数和的$\frac{1}{k}$（k≠0），第2016次操作后圆周上所有数字的和与第2015次操作后圆周上所有数字的和的比是$\frac{1009}{1008}$．

Answer 1

分析 设第n次操作后圆周上所有数字的和为a_n，数字的个数为x个，根据写数的规律可知a_n+1=$\frac{n+3}{n+1}{a}_{n}$，根据该规律即可解决问题．

解答 解：设第n次操作后圆周上所有数字的和为a_n，数字的个数为x个，
根据写数的规律可知，第n个图形上的每个数字用到2次，
∴a_n+1=a_n+$\frac{2}{n+1}$a_n=$\frac{n+3}{n+1}{a}_{n}$．
令n=2015，则有a₂₀₁₆=$\frac{2018}{2016}$a₂₀₁₅．
∴$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2015}}$=$\frac{2018}{2016}$=$\frac{1009}{1008}$．
故答案为：$\frac{1009}{1008}$．

点评 本题考查了规律型的数字的变化以及图形的变化，解题的关键是找出规律“a_n+1=$\frac{n+3}{n+1}{a}_{n}$”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合图形与数字的变化找出变化规律是关键．