Question

11．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，连接AB、CP交于D，∠APC=∠CPB=60°．
（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，点G为线段CP上一点，连BG，若∠CBG=2∠ACP时，求证：CG=DP+AP；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PD=DG=1时，求AD和tan∠PCB值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠BAC=∠ABC=60°，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△PBH≌△PBD，根据全等三角形的性质得到∠PBH=∠PBD，根据圆周角定理得到∠CBG=∠ABH，在△BAH与△BCG中，根据全等三角形的性质得到CG=AH，等量代换即可得到结论；
（3）根据已知条件得到CF=PD=1，根据全等三角形的性质得到BP=BF，推出△PBF是等边三角形，求得PB=PF=BF=3，解直角三角形得到DS=$\sqrt{3}$，SF=1，由勾股定理得到BD=$\sqrt{B{S}^{2}+D{S}^{2}}$=$\sqrt{7}$，通过相似三角形的性质得到AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵A，P，B，C是⊙O上的四个点，
∴∠BAC=∠BPC，∠ABC=∠APC，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）延长AP到H使PH=PD，连接BH，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠HPB=60°，
在△PBH与△PBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PH=PD}\\{∠HPB=∠DPB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PBH≌△PBD，
∴∠PBH=∠PBD，
∵∠APB=∠ACP，
∴∠PBH=∠PBA=∠ACP，
∵∠CBG=2∠ACP，
∴∠CBG=∠ABH，
在△BAH与△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠ABH}\\{BC=AB}\\{∠BCG=∠BAH}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCG，
∴CG=AH，
∵AH=AP+PH=AP+PD，
∴CG=AP+PD；

（3）在CG上截取CF=AP，连接BF，
∵PD=DG=1，CG=AP+PD，
∵CG=CF+GF，
∴CF=PD=1，
∵∠PAB=∠BCG，
在△APB与△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CF}\\{∠PAB=∠PCB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△BCF，
∴BP=BF，
∵∠CPB=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=PF=BF=3，
过D作DS⊥BH于S，
∴DS=$\sqrt{3}$，SF=1，
∴BS=2，
∴BD=$\sqrt{B{S}^{2}+D{S}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠APC=∠ABC，∠ADP=∠BDC，
∴△APD∽△CBD，
∴$\frac{AP}{BF}=\frac{AD}{BD}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵∠FBD+∠ABP=∠BCP+∠ACP=60°，
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠DBF=∠PCB，
∴tan∠PCB=tan∠DBF=$\frac{DS}{BS}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．