Question

如图①，△ABC的面积为a，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，若△ACD的面积为S₁，则S₁=a，探索：
（1）如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S₂，则S₂=

 

（用含a的代数式表示）
（2）在图②的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD、FE，得到△DEF（如图③），若阴影部分的面积为S₃，则S₃=

 

（用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图③），此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的

 

倍．
应用：去年在面积为10m²的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC内外进行扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图④）；求这两次扩展的区域 （即阴影部分）面积共为多少平方米？

Answer 1

考点：三角形的面积

专题：

分析：（1）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）在（1）的基础上，阴影部分的面积是（1）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的7²=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．

解答：解：（1）2a；
理由：连接AD，

∵CD=BC，AE=CA，
∴S_△DAC=S_△DAE=S_△ABC=a，
∴S₂=2a，
故答案为：2a；
（2）6a；
结合（1）得：2a×3=6a，
故答案为：6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍，
故答案为：7；
应用：
由图③可知：S_△DEF=7S_△ABC，S_△MGH=7S_△DEF，
∴S_△MGH=49S_△ABC，
又S_阴=S_△MGH-S_△ABC=48S_△ABC=480m²，
所以这两次扩展的区域 （即阴影部分）面积共为480平方米．

点评：此题考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．