Question

已知E，D，F，G分别是AB，AC，BO，CO的中点，当AB=AC时，证明：四边形DEFG为矩形．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,矩形的判定

专题：证明题

分析：ED和FG分别是△ABC和△OBC的中位线，根据三角形的中位线定理即可证明DE∥FG且DE=FG，则四边形DEFG是平行四边形，然后证明△BCD≌△CBE，根据等角对等边证明OB=OC，则DF=EG，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断．

解答：证明：∵E，D分别是AB，AC，BO的中点，及DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=

1

2

BC，
同理FG∥BC，且FG=

1

2

BC．
∴DE∥FG且DE=FG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵ED是AB和AC的中点，
∴BE=CD，
在△BCD和△CBE中，

BE=CD ∠ABC=∠ACB BC=CB

，
∴△BCD≌△CBE，
∴BD=CE，∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵F、G是OB和OC的中点，
∴BF=CG，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．

点评：本题考查了三角形的中位线定理以及全等三角形的判定与性质，证明DF=EG是解决本题的关键．