Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为E，连结CD，BE．
（1）求证：四边形ADEC是平行四边形；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）要证明四边形ADEC是平行四边形，根据题意，只要证明AC∥DE即可，由∠ACB=90°，DE⊥BC，可以得到AC∥DE，从而可以证明结论成立；
（2）首先判断四边形BEDC是什么特殊四边形，然后根据题目中的条件进行证明即可；
（3）根据（2）中的结论在根据猜测∠A的大小满足的条件，进行推测即可证明结论成立．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACB=∠DFB=90°，
∴AC∥DE，
又∵MN∥AB，
∴CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形；
（2）四边形BECD是菱形，
理由：∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，四边形ADEC是平行四边形，
∴CD=$\frac{1}{2}AB$=AD=BD，CE=AD，
∴CE=AD，
∵CE∥AD，BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形；
（3）若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴DC=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．

点评 本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，明确平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定方法，利用数形结合的思想解答问题．