Question

4．如图，OA分别与双曲线y=$\frac{50}{x}$（x＞0）．y=$\frac{32}{x}$（x＞0）交于点A，B，BC⊥OA，BC与双曲线y=$\frac{50}{x}$（x＞0）交于点C．连结AC，若点B的横坐标为4，则cos∠BAC值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{13}$

Answer 1

分析 根据勾股定理得到BO=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，B（4，8），得到S_△BOD=16，求得S_△AOE=25根据相似三角形的性质得到AO=5$\sqrt{5}$，得到AB=$\sqrt{5}$根据相似三角形的性质得到OE=5，AE=10，求得A（5，10）待定系数法得到直线OA的解析式为：y=2x，设直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，求得直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+10，解方程组得到C（10，5），于是得到结论．

解答 解：把x=4代入y=$\frac{32}{x}$得，y=8，
∴BO=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，B（4，8），
∴S_△BOD=16，
∵S_△AOE=25，
∵△OBD∽△OAE，
∴$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{△AOE}}$=（$\frac{BO}{AO}$）²，
∴（$\frac{4\sqrt{5}}{OA}$）²=$\frac{16}{25}$，
∴AO=5$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{5}$，
∵△OBD∽△OAE，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{BD}{AE}=\frac{OB}{OA}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$，
∴OE=5，AE=10，
∴A（5，10）
∵直线OA的解析式为：y=2x，
∵BC⊥OA，
∴设直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∴8=-$\frac{1}{2}×4$+b，
∴b=10，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+10，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{50}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴C（10，5），
∴AC=$\sqrt{（10-5）^{2}+（5-10）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴cos∠BAC=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故选A．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．