Question

13．已知△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一点．
（1）如图1，BH⊥AD于H，若AD=BD，求$\frac{AH}{BC}$的值；
（2）如图2，∠BAC=90°，E为AB的中点，∠BCE=∠DAB，BD=2，求CE的长；
（3）如图3．∠BAC=60°，F为AC上一点，AF=2CF，∠FDC=∠ABF，延长DF至G，使GF=BF，求证AG∥BC．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠ABD=∠BAD，进而得出△ABE≌△BAH，即可得出BE=AH，代换即可得出结论；
（2）设出AE=x，先利用勾股定理求出BC，进而得出AF，BF，而BD=2，得出DF，再判断出△DAF∽△CEA，得出比例式求出DF即可建立方程，求出x，利用勾股定理即可求出CE；
（3）先判断出三角形ABC是等边三角形，得出∠C=60°，再用三角形的内角和得出∠AFB=∠AFG，进而判断出△AFB≌△AFG，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD，
在△ABE和△BAH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BHA=90°}\\{∠ABE=∠BAH}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAH，
∴BE=AH，
∴$\frac{1}{2}$BC=AH，
∴$\frac{AH}{BC}=\frac{1}{2}$；

（2）如图2，
过点A作AF⊥BC于F，设AE=x，
∵点E是AB的中点，
∴AC=AB=2x，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$x，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$x，
∴DF=BD+BF=2+$\sqrt{2}$x，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°=∠BAF，
∴∠AEC=∠ABC+∠BCE=45°+∠BCE，
∵∠BCE=∠BAD，
∴∠AEC=45°+∠BAD，
∵∠DAF=∠BAF+∠BAD=45°+∠BAD，
∴∠AEC=∠DAF，∵∠AFD=∠EAC=90°，
∴△DAF∽△CEA，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{DF}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}x}{x}=\frac{DF}{2x}$，
∴DF=2$\sqrt{2}$x，
∵DF=2+$\sqrt{2}$x，
∴2$\sqrt{2}$x=2+$\sqrt{2}$x，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴AC=2x=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ACE中，根据勾股定理，得CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（3）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
在△CDF中，∠CFD=180°-∠CDF-∠C=120°-∠CDF，
∵∠FDC=∠ABF，
∴∠AFG=∠CFD=120°-∠ABF，
在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAC-∠ABF=180°-60°-∠ABF=120°-∠ABF，
∴∠AFB=∠AFG，
在△AFB和△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠AFB=∠AFG}\\{BF=GF}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△AFG，
∴∠CAG=∠BAC=60°=∠C，
∴AG∥BC．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解（1）的关键是作出辅助线，解（2）的关键是求出AE和AC，解（3）的关键是判断出∠AFB=∠AFG，解本题的难点是作出辅助线构造全等三角形和相似三角形，是一道很好的中考常考题．