Question

14．如图，在⊙O上有定点C和动点Q，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为$\frac{5}{2}$，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，求△PCQ面积的最大值．

Answer 1

分析 由CP⊥CQ，AB是直径，易得∠Q=∠ABC，又由tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，易得当CP是直径，CQ最大，此时△PCQ的面积最大．

解答 解：∵CP⊥CQ，AB是直径，
∴∠ACB=∠PCQ=90°，
∵∠A=∠P，
∴∠Q=∠ABC，
∴tan∠Q=tan∠ABC，
∴$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{3}{4}$，
∴CQ=$\frac{4}{3}$CP，
∴当CP最大时，CQ的值最大，即△PCQ的面积最大，
∴当CP是直径时，即CP=5，CQ最大，CQ的最大值为$\frac{20}{3}$，
∴△PCQ的面积的最大值=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{3}$=$\frac{50}{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理、锐角三角函数、三角形的面积直径的性质等知识，解题的关键是学会利用圆中最长的弦是直径解决最值问题，属于中考常考题型．